第3章线性映射 - 保持线性结构的函数 (Linear Maps)

一、导读

3.1 本章学习目标

通过本章的学习，你将能够：

理解线性映射的定义和性质：掌握加法和标量乘法保持性，理解线性映射是向量空间之间的"结构保持"函数

掌握零空间和值域的概念：理解核（null space）和像（range）的几何意义，以及它们与单射、满射的关系

理解秩-零化度定理：掌握 $\dim(\text{null } T) + \dim(\text{range } T) = \dim V$ 的证明和应用

熟练进行线性映射的运算：包括加法、标量乘法、复合，理解线性映射构成向量空间

理解可逆线性映射的条件：掌握单射、满射、双射与可逆性的关系

掌握线性映射的矩阵表示：理解如何在给定基下将线性映射表示为矩阵

将线性映射概念应用于实际问题：如图像变换、数据投影、方程组求解

3.2 为什么本章如此重要

线性映射是线性代数的灵魂。如果说向量空间是舞台，那么线性映射就是舞台上的"动作"——它描述了向量如何被变换、空间如何被映射。

从理论的角度看，线性映射是向量空间之间的态射（morphism），它保持了向量空间的代数结构。研究线性映射就是研究向量空间之间的关系，这是范畴论思想在线性代数中的体现。

从应用的角度看：

计算机图形学：旋转、缩放、平移、投影都是线性映射（或仿射映射）
机器学习：神经网络的全连接层是线性映射后接非线性激活函数；PCA 是投影映射
物理学：量子力学中的可观测量是线性算子；经典力学中的惯性张量是线性映射
信号处理：滤波器、卷积操作都是线性映射
经济学：投入产出模型、线性规划都依赖线性映射理论

从认知的角度看，本章帮助你建立"变换思维"。不再只关注静态的向量，而是关注向量如何被变换、空间如何被映射。这种动态视角是理解更高级数学（如微分几何、泛函分析）的关键。

3.3 核心问题引导

在学习本章时，请持续思考以下问题：

什么是"保持线性结构"？ 为什么线性映射必须满足 $T(u + v) = Tu + Tv$ 和 $T(\lambda v) = \lambda Tv$？这两个条件有什么几何意义？

零空间和值域有什么关系？ 为什么它们的维度之和等于定义域的维度？这个看似神奇的公式背后的直觉是什么？

线性映射与矩阵有什么关系？ 为什么说矩阵只是线性映射在特定基下的表示？同一个线性映射在不同基下的矩阵有何不同？

什么样的线性映射是可逆的？ 单射、满射、双射分别对应什么条件？在有限维空间中，单射和满射是否等价？

线性映射的复合为什么对应矩阵乘法？ 矩阵乘法的定义不是任意的，而是由线性映射复合的自然要求决定的。

如何判断一个函数是否是线性映射？ 常见的非线性函数（如二次函数、指数函数）为什么不满足线性条件？

在编程中，如何高效实现线性映射？ 稀疏矩阵、低秩近似等技术如何利用线性映射的结构？

二、核心概念详解

3.1 线性映射的定义

定义 3.1（线性映射）

设 $V$ 和 $W$ 是 $\mathbb{F}$ 上的向量空间。函数 $T: V \to W$ 称为线性映射（Linear Map），如果满足以下两个条件：

加法保持性：$\forall u, v \in V$，有 $T(u + v) = Tu + Tv$

标量乘法保持性：$\forall \lambda \in \mathbb{F}$，$\forall v \in V$，有 $T(\lambda v) = \lambda Tv$

我们通常将 $T(v)$ 简写为 $Tv$（省略括号）。

关键洞察：线性映射保持向量空间的两种运算。这意味着线性映射"尊重"向量空间的结构——向量的线性组合在映射前后保持一致：

$$T(\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n) = \lambda_1 Tv_1 + \cdots + \lambda_n Tv_n$$

例 3.1：基本线性映射

零映射：$T: V \to W$，$Tv = 0$（对所有 $v$）。这是线性映射。

恒等映射：$I: V \to V$，$Iv = v$。这是线性映射。

缩放映射：$T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$，$Tv = \lambda v$（$\lambda$ 是固定标量）。这是线性映射。

投影映射：$T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$，$T(x, y, z) = (x, y, 0)$（投影到 $xy$ 平面）。这是线性映射。

旋转映射：$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$，$T(x, y) = (x\cos\theta - y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta)$（旋转 $\theta$ 角）。这是线性映射。

例 3.2：非线性映射

以下函数不是线性映射：

$T: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，$T(x) = x^2$。因为 $T(2x) = 4x^2 \neq 2x^2 = 2T(x)$。

$T: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，$T(x) = x + 1$。因为 $T(0) = 1 \neq 0$（线性映射必须将零向量映射为零向量）。

$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$，$T(x, y) = xy$。因为 $T((1, 1) + (1, 1)) = T(2, 2) = 4 \neq 2 = T(1, 1) + T(1, 1)$。

快速判定技巧：如果 $T(0) \neq 0$，则 $T$ 一定不是线性映射。

定理 3.1：线性映射的基本性质

设 $T: V \to W$ 是线性映射，则：

$T(0_V) = 0_W$（零向量映射到零向量）

$T(-v) = -Tv$（逆元映射到逆元）

$T$ 保持线性组合：$T(\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i) = \sum_{i=1}^n \lambda_i Tv_i$

证明：

$T(0_V) = T(0 \cdot 0_V) = 0 \cdot T(0_V) = 0_W$

$T(-v) = T((-1)v) = (-1)Tv = -Tv$

由归纳法，利用加法保持性和标量乘法保持性可得。$\square$

3.2 零空间与值域

定义 3.2（零空间 / 核）

设 $T: V \to W$ 是线性映射。零空间（Null Space）或核（Kernel）定义为：

$$\text{null } T = \{v \in V : Tv = 0_W\}$$

即被 $T$ 映射到零向量的所有向量的集合。

定理 3.2：零空间是子空间

$\text{null } T$ 是 $V$ 的子空间。

证明：

$0_V \in \text{null } T$，因为 $T(0_V) = 0_W$

若 $u, v \in \text{null } T$，则 $T(u + v) = Tu + Tv = 0 + 0 = 0$，所以 $u + v \in \text{null } T$

若 $v \in \text{null } T$，$\lambda \in \mathbb{F}$，则 $T(\lambda v) = \lambda Tv = \lambda \cdot 0 = 0$，所以 $\lambda v \in \text{null } T$

因此 $\text{null } T$ 是子空间。$\square$

几何直觉：零空间是线性映射的"压缩方向"。如果 $\text{null } T \neq \{0\}$，说明 $T$ 将某些非零向量压缩为零，即 $T$ 不是单射。

定义 3.3（值域 / 像）

设 $T: V \to W$ 是线性映射。值域（Range）或像（Image）定义为：

$$\text{range } T = \{Tv : v \in V\} = \{w \in W : \exists v \in V, Tv = w\}$$

即 $T$ 的所有输出值的集合。

定理 3.3：值域是子空间

$\text{range } T$ 是 $W$ 的子空间。

证明：

$0_W \in \text{range } T$，因为 $T(0_V) = 0_W$

若 $w_1, w_2 \in \text{range } T$，则存在 $v_1, v_2 \in V$ 使得 $Tv_1 = w_1$，$Tv_2 = w_2$。则 $T(v_1 + v_2) = Tv_1 + Tv_2 = w_1 + w_2$，所以 $w_1 + w_2 \in \text{range } T$

若 $w \in \text{range } T$，$\lambda \in \mathbb{F}$，则存在 $v \in V$ 使得 $Tv = w$。则 $T(\lambda v) = \lambda Tv = \lambda w$，所以 $\lambda w \in \text{range } T$

因此 $\text{range } T$ 是子空间。$\square$

定义 3.4（单射与满射）

设 $T: V \to W$ 是线性映射。

$T$ 是单射（Injective / One-to-One），如果 $Tu = Tv \implies u = v$
$T$ 是满射（Surjective / Onto），如果 $\text{range } T = W$
$T$ 是双射（Bijective），如果既是单射又是满射

定理 3.4：单射的刻画

$T$ 是单射当且仅当 $\text{null } T = \{0\}$。

证明：

充分性：如果 $\text{null } T = \{0\}$，且 $Tu = Tv$，则 $T(u - v) = Tu - Tv = 0$，所以 $u - v \in \text{null } T = \{0\}$，即 $u = v$。

必要性：如果 $T$ 是单射，且 $v \in \text{null } T$，则 $Tv = 0 = T(0)$。由单射性，$v = 0$。所以 $\text{null } T = \{0\}$。$\square$

重要推论：线性映射是单射当且仅当它的核只有零向量。

3.3 秩-零化度定理

定义 3.5（零化度与秩）

设 $T: V \to W$ 是线性映射，$V$ 是有限维的。

零化度（Nullity）：$\text{nullity}(T) = \dim(\text{null } T)$
秩（Rank）：$\text{rank}(T) = \dim(\text{range } T)$

定理 3.5（秩-零化度定理）

设 $T: V \to W$ 是线性映射，$V$ 是有限维的。则：

$$\dim V = \dim(\text{null } T) + \dim(\text{range } T)$$

即：

$$\dim V = \text{nullity}(T) + \text{rank}(T)$$

证明：

设 $\dim V = n$，$\dim(\text{null } T) = k$。取 $\text{null } T$ 的基 $u_1, \ldots, u_k$。

由扩展定理，可以将 $u_1, \ldots, u_k$ 扩展为 $V$ 的基 $u_1, \ldots, u_k, v_1, \ldots, v_m$，其中 $m = n - k$。

我们断言：$Tv_1, \ldots, Tv_m$ 是 $\text{range } T$ 的基。

张成空间：任意 $w \in \text{range } T$ 可写为 $w = Tv$，其中 $v \in V$。由于 $u_1, \ldots, u_k, v_1, \ldots, v_m$ 是 $V$ 的基：

$$v = \sum_{i=1}^k \alpha_i u_i + \sum_{j=1}^m \beta_j v_j$$

则：

$$w = Tv = T\left(\sum_{i=1}^k \alpha_i u_i + \sum_{j=1}^m \beta_j v_j\right) = \sum_{i=1}^k \alpha_i Tu_i + \sum_{j=1}^m \beta_j Tv_j = \sum_{j=1}^m \beta_j Tv_j$$

（因为 $Tu_i = 0$）

所以 $Tv_1, \ldots, Tv_m$ 张成 $\text{range } T$。

线性无关：设 $\sum_{j=1}^m \gamma_j Tv_j = 0$。则 $T(\sum_{j=1}^m \gamma_j v_j) = 0$，所以 $\sum_{j=1}^m \gamma_j v_j \in \text{null } T$。

由于 $u_1, \ldots, u_k$ 是 $\text{null } T$ 的基，存在 $\delta_1, \ldots, \delta_k$ 使得：

$$\sum_{j=1}^m \gamma_j v_j = \sum_{i=1}^k \delta_i u_i$$

即：

$$\sum_{j=1}^m \gamma_j v_j - \sum_{i=1}^k \delta_i u_i = 0$$

由于 $u_1, \ldots, u_k, v_1, \ldots, v_m$ 是 $V$ 的基（线性无关），所有系数为零。特别地，$\gamma_1 = \cdots = \gamma_m = 0$。

因此 $Tv_1, \ldots, Tv_m$ 线性无关，是 $\text{range } T$ 的基。

所以 $\dim(\text{range } T) = m = n - k = \dim V - \dim(\text{null } T)$。$\square$

几何直觉：秩-零化度定理表明，线性映射要么"保留信息"（大秩），要么"压缩空间"（大零化度），两者之和是固定的（定义域的维度）。这是一种守恒律。

推论 3.6：有限维空间中的单射与满射

设 $T: V \to W$ 是线性映射，$V$ 和 $W$ 都是有限维的，且 $\dim V = \dim W$。则以下条件等价：

$T$ 是单射

$T$ 是满射

$T$ 是双射

$\text{null } T = \{0\}$

$\text{range } T = W$

证明：

由秩-零化度定理，$\dim V = \dim(\text{null } T) + \dim(\text{range } T)$。

$(1) \iff (4)$：定理 3.4
如果 $T$ 是单射，则 $\dim(\text{null } T) = 0$，所以 $\dim(\text{range } T) = \dim V = \dim W$。由于 $\text{range } T \subseteq W$ 且维度相等，$\text{range } T = W$，即满射。
如果 $T$ 是满射，则 $\dim(\text{range } T) = \dim W = \dim V$，所以 $\dim(\text{null } T) = 0$，即单射。
$(3) \iff (1) \land (2)$：显然

因此所有条件等价。$\square$

重要意义：在有限维空间中，对于方阵（定义域和值域维度相同），单射、满射、可逆是等价的。这与无限维空间不同（在无限维空间中，单射不一定满射）。

3.4 线性映射的运算

定义 3.6（线性映射的加法与标量乘法）

设 $T, S: V \to W$ 是线性映射，$\lambda \in \mathbb{F}$。定义：

加法：$(T + S)(v) = Tv + Sv$
标量乘法：$(\lambda T)(v) = \lambda(Tv)$

可以验证 $T + S$ 和 $\lambda T$ 也是线性映射。

定理 3.7：线性映射构成向量空间

设 $V$ 和 $W$ 是 $\mathbb{F}$ 上的向量空间。所有从 $V$ 到 $W$ 的线性映射的集合，记作 $\mathcal{L}(V, W)$，在上述加法和标量乘法下构成一个向量空间。

证明：验证八条公理即可（继承自 $W$ 的向量空间结构）。$\square$

定义 3.7（线性映射的复合）

设 $T: U \to V$ 和 $S: V \to W$ 是线性映射。它们的复合 $S \circ T: U \to W$ 定义为：

$$(S \circ T)(u) = S(Tu)$$

定理 3.8：线性映射的复合是线性的

$S \circ T$ 是线性映射。

证明：

$$(S \circ T)(u + v) = S(T(u + v)) = S(Tu + Tv) = S(Tu) + S(Tv) = (S \circ T)u + (S \circ T)v$$

$$(S \circ T)(\lambda u) = S(T(\lambda u)) = S(\lambda Tu) = \lambda S(Tu) = \lambda(S \circ T)u$$

$\square$

3.5 可逆线性映射

定义 3.8（可逆线性映射）

设 $T: V \to W$ 是线性映射。如果存在线性映射 $S: W \to V$ 使得：

$$S \circ T = I_V \quad \text{且} \quad T \circ S = I_W$$

则称 $T$ 是可逆（Invertible）的，$S$ 称为 $T$ 的逆（Inverse），记作 $T^{-1}$。

定理 3.9：可逆线性映射的性质

如果 $T$ 可逆，则：

$T$ 是双射

$T^{-1}$ 是唯一的

$T^{-1}$ 也是可逆的，且 $(T^{-1})^{-1} = T$

证明：

由 $S \circ T = I_V$ 知 $T$ 是单射（若 $Tu = Tv$，则 $u = STu = STv = v$）。由 $T \circ S = I_W$ 知 $T$ 是满射（任意 $w \in W$，$w = T(Sw)$）。

如果 $S_1$ 和 $S_2$ 都是 $T$ 的逆，则 $S_1 = S_1 \circ I_W = S_1 \circ (T \circ S_2) = (S_1 \circ T) \circ S_2 = I_V \circ S_2 = S_2$。

由定义直接得到。$\square$

定理 3.10：有限维空间中的可逆性

设 $T: V \to V$ 是线性算子（定义域和值域相同），$V$ 是有限维的。则 $T$ 可逆当且仅当 $T$ 是单射（或等价地，当且仅当 $T$ 是满射）。

证明：由推论 3.6，在有限维空间中单射、满射、双射等价。而双射线性映射必有逆（构造逆映射即可）。$\square$

三、程序员的视角

3.1 在机器学习中的应用

全连接层：神经网络中的全连接层本质上是线性映射 $T(x) = Wx$（后接偏置和非线性激活函数）。权重矩阵 $W$ 定义了从输入空间到输出空间的线性映射。

主成分分析（PCA）：PCA 找到数据协方差矩阵的特征向量，这些特征向量定义了从原始高维空间到低维子空间的投影映射。这是一个线性映射，其零空间是被丢弃的方向，值域是保留的主成分空间。

注意力机制：Transformer 中的注意力机制涉及三个线性映射：$Q = W_Q X$，$K = W_K X$，$V = W_V X$。这些线性映射将输入投影到查询、键、值空间。

3.2 常见陷阱与误区

误区 1：认为所有函数都是线性的

许多常见函数（如 ReLU、sigmoid、softmax）是非线性的。线性映射必须满足加法和标量乘法保持性。

误区 2：混淆"线性映射"与"仿射映射"

仿射映射形如 $T(x) = Ax + b$（$b \neq 0$），不是线性映射（因为 $T(0) = b \neq 0$）。但在机器学习中常被称为"线性层"（实际是仿射层）。

误区 3：忽略零空间的意义

零空间不为零意味着信息丢失。在解线性方程组 $Ax = b$ 时，如果 $\text{null } A \neq \{0\}$，则解不唯一（通解 = 特解 + 零空间中的任意向量）。

误区 4：认为可逆矩阵总是存在

只有方阵才可能可逆，且即使是方阵也可能不可逆（行列式为零）。在实际应用中，矩阵往往是病态的（条件数大），数值上接近不可逆。

3.3 与其他层级的联系

与矩阵理论的联系：线性映射在给定基下的表示是矩阵，矩阵乘法对应线性映射的复合
与特征值的联系：特征向量是线性映射的"不变方向"，特征值描述了沿该方向的缩放因子
与内积空间的联系：在内积空间中可以定义伴随算子、自伴算子等特殊线性映射
与泛函分析的联系：无限维空间中的线性算子理论是泛函分析的核心

四、代码实战

4.1 验证线性映射

python

import numpy as np

def is_linear_map(T, vectors, scalars, tol=1e-10):
    """
    数值验证函数 T 是否是线性映射
    
    参数:
    T: 函数，输入向量，输出向量
    vectors: 测试向量列表
    scalars: 测试标量列表
    tol: 数值容差
    
    返回:
    bool: 是否可能是线性映射
    """
    # 检查 T(0) = 0
    zero = np.zeros_like(vectors[0])
    if not np.allclose(T(zero), zero, atol=tol):
        print("T(0) != 0，不是线性映射")
        return False
    
    # 检查加法保持性
    for u in vectors:
        for v in vectors:
            lhs = T(u + v)
            rhs = T(u) + T(v)
            if not np.allclose(lhs, rhs, atol=tol):
                print(f"加法保持性失败: T({u} + {v}) != T({u}) + T({v})")
                return False
    
    # 检查标量乘法保持性
    for alpha in scalars:
        for v in vectors:
            lhs = T(alpha * v)
            rhs = alpha * T(v)
            if not np.allclose(lhs, rhs, atol=tol):
                print(f"标量乘法保持性失败: T({alpha} * {v}) != {alpha} * T({v})")
                return False
    
    print("所有测试通过，可能是线性映射")
    return True

# 示例：测试旋转映射
def rotation(theta):
    def T(v):
        x, y = v
        return np.array([x * np.cos(theta) - y * np.sin(theta),
                         x * np.sin(theta) + y * np.cos(theta)])
    return T

T = rotation(np.pi / 4)  # 旋转 45 度
vectors = [np.array([1, 0]), np.array([0, 1]), np.array([1, 1])]
scalars = [1, 2, -1, 0.5]

is_linear_map(T, vectors, scalars)

4.2 计算零空间和值域

python

import numpy as np

def null_space(A, tol=1e-10):
    """
    计算矩阵 A 的零空间
    
    参数:
    A: m x n 矩阵
    tol: 数值容差
    
    返回:
    numpy 矩阵: 零空间的基（每列是一个基向量）
    """
    _, S, Vt = np.linalg.svd(A)
    
    # 奇异值接近零的右奇异向量构成零空间
    null_vectors = Vt[S < tol].T
    
    return null_vectors

def column_space(A, tol=1e-10):
    """
    计算矩阵 A 的列空间（值域）
    
    参数:
    A: m x n 矩阵
    tol: 数值容差
    
    返回:
    numpy 矩阵: 列空间的基（每列是一个基向量）
    """
    U, S, Vt = np.linalg.svd(A)
    
    # 非零奇异值对应的左奇异向量构成列空间
    rank = np.sum(S > tol)
    range_vectors = U[:, :rank]
    
    return range_vectors

# 示例
A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9]])

null_basis = null_space(A)
print("零空间的基:")
print(null_basis)

range_basis = column_space(A)
print("\n列空间的基:")
print(range_basis)

print(f"\n零化度: {null_basis.shape[1]}")
print(f"秩: {range_basis.shape[1]}")
print(f"验证秩-零化度定理: {null_basis.shape[1] + range_basis.shape[1]} == {A.shape[1]}")

4.3 线性映射的矩阵表示

python

import numpy as np

def linear_map_to_matrix(T, basis_V, basis_W):
    """
    将线性映射 T: V -> W 表示为矩阵
    
    参数:
    T: 线性映射函数
    basis_V: V 的基向量列表
    basis_W: W 的基向量列表
    
    返回:
    numpy 矩阵: T 在给定基下的矩阵表示
    """
    dim_V = len(basis_V)
    dim_W = len(basis_W)
    
    # 将 W 的基向量组成矩阵（用于求解坐标）
    W_matrix = np.column_stack(basis_W)
    
    # 矩阵的第 j 列是 T(v_j) 在 W 基下的坐标
    matrix = np.zeros((dim_W, dim_V))
    
    for j, v_j in enumerate(basis_V):
        # 计算 T(v_j)
        Tv_j = T(v_j)
        
        # 求解 W_matrix @ coords = Tv_j
        coords = np.linalg.solve(W_matrix, Tv_j)
        matrix[:, j] = coords
    
    return matrix

# 示例：投影映射 T(x, y, z) = (x, y, 0)
def projection_T(v):
    return np.array([v[0], v[1], 0])

basis_V = [np.array([1, 0, 0]), np.array([0, 1, 0]), np.array([0, 0, 1])]
basis_W = [np.array([1, 0, 0]), np.array([0, 1, 0]), np.array([0, 0, 1])]

M = linear_map_to_matrix(projection_T, basis_V, basis_W)
print("投影映射的矩阵表示:")
print(M)

# 验证
v = np.array([1, 2, 3])
print(f"\nT({v}) = {projection_T(v)}")
print(f"M @ v = {M @ v}")

五、深入思考

5.1 历史背景

线性映射的概念源于对线性方程组和几何变换的研究：

18世纪：Euler、Lagrange 在研究力学问题时使用了线性变换
19世纪：Cayley、Sylvester 发展了矩阵理论，为线性映射提供了计算工具
20世纪初：Banach、Hilbert 将线性算子理论推广到无限维空间
1930年代：von Neumann 在量子力学中系统使用了 Hilbert 空间上的线性算子

Axler 强调先理解线性映射的抽象性质，再引入矩阵表示，这种方法更符合数学的逻辑结构。

5.2 前沿方向

随机线性映射：在高维数据处理中，随机投影（Johnson-Lindenstrauss 引理）可以用低维随机线性映射保持数据的距离结构。这在降维、近似最近邻搜索中有广泛应用。

张量网络：将高维线性映射分解为多个低维线性映射的组合，用于压缩神经网络、量子多体系统模拟等。

拓扑数据分析：使用持久同调研究数据的拓扑结构，其中涉及线性映射序列（链复形）的同调计算。

5.3 延伸阅读

Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 3rd Edition, Springer, 2015 - Chapter 3

Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 5th Edition - Chapter 2, 3

Stephen H. Friedberg et al., Linear Algebra, 4th Edition - Chapter 2

3Blue1Brown, "The Essence of Linear Algebra" 第9-12集

Michael I. Jordan, "Why Deep Learning Works So Well" - 关于线性映射在深度学习中的作用

六、实验笔记

实验 1：探索线性映射的零空间和值域

目标：直观理解零空间和值域的几何意义

步骤：

选择一个 $3 \times 3$ 矩阵 $A$（秩为 2）

计算 $A$ 的零空间和列空间

在 $\mathbb{R}^3$ 中可视化零空间（直线或平面）和列空间（平面）

选择几个向量，观察它们如何被 $A$ 映射，特别是零空间中的向量被映射到哪里

验证秩-零化度定理

扩展：改变矩阵的秩，观察零空间和值域的变化。

实验 2：线性映射复合与矩阵乘法

目标：验证线性映射复合对应矩阵乘法

步骤：

定义两个线性映射 $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ 和 $S: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$

分别计算它们的矩阵表示 $A$ 和 $B$

计算复合映射 $S \circ T$ 的矩阵表示

验证该矩阵等于 $BA$（注意顺序！）

测试多个向量，验证 $(S \circ T)(v) = B(Av)$

挑战：研究为什么矩阵乘法的定义是"行乘列"，而不是其他方式。这与线性映射复合的顺序有何关系？

七、本章小结

本章深入研究了线性映射的理论，核心内容包括：

核心概念：

线性映射保持向量加法和标量乘法，是向量空间之间的结构保持函数
零空间（核）是被映射到零向量的向量集合，值域（像）是所有输出的集合
零空间和值域都是子空间
单射等价于零空间只有零向量，满射等价于值域等于整个目标空间

关键定理：

秩-零化度定理：$\dim V = \dim(\text{null } T) + \dim(\text{range } T)$
在有限维空间中，对于线性算子，单射、满射、可逆等价
线性映射的复合是线性的，对应矩阵乘法

几何直觉：

线性映射可以拉伸、压缩、旋转空间，但不能弯曲
零空间是"被压缩为零"的方向
值域是"可达"的空间区域
秩-零化度定理是一种信息守恒律

编程实践：

用 SVD 分解计算零空间和值域
用线性方程组求解线性映射的矩阵表示
验证线性映射的性质

线性映射是线性代数的核心，下一章我们将研究多项式，为理解特征值和谱定理做准备。

八、习题

基础题

判断下列函数是否是线性映射：

- (a) $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$，$T(x, y) = (x + 1, y)$

- (b) $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$，$T(x, y) = (2x, x - y)$

- (c) $T: P_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$，$T(p) = p(1)$

设 $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ 定义为 $T(x, y, z) = (x + y, y - z)$。求 $\text{null } T$ 和 $\text{range } T$ 的基和维度。

设 $T: P_3(\mathbb{R}) \to P_2(\mathbb{R})$ 是求导映射 $T(p) = p'$。证明 $T$ 是线性映射，并求 $\text{null } T$ 和 $\text{range } T$。

设 $T: V \to W$ 是线性映射，$U$ 是 $V$ 的子空间。证明 $T(U) = \{Tu : u \in U\}$ 是 $W$ 的子空间。

进阶题

设 $T: V \to W$ 是线性映射，$v_1, \ldots, v_n$ 是 $V$ 的基。证明 $\text{range } T = \text{span}(Tv_1, \ldots, Tv_n)$。

设 $S, T: V \to W$ 是线性映射。证明 $\text{null}(S + T) \supseteq \text{null } S \cap \text{null } T$。举例说明等号不一定成立。

设 $T: V \to V$ 是线性算子，$V$ 是有限维的。证明：如果 $T^2 = 0$（零映射），则 $\text{rank}(T) \leq \frac{1}{2}\dim V$。

设 $T: U \to V$ 和 $S: V \to W$ 是线性映射。证明：$\text{rank}(S \circ T) \leq \min(\text{rank}(T), \text{rank}(S))$。

挑战题

设 $T: V \to W$ 是线性映射，$V$ 和 $W$ 都是有限维的。证明：存在 $V$ 的基 $v_1, \ldots, v_n$ 和 $W$ 的基 $w_1, \ldots, w_m$，使得 $T$ 在这两组基下的矩阵表示为：

$$\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

其中 $r = \text{rank}(T)$，$I_r$ 是 $r \times r$ 单位矩阵。（这称为线性映射的标准形）

设 $T: V \to V$ 是线性算子，$V$ 是有限维的。证明：存在正整数 $k$ 使得 $\text{null } T^k = \text{null } T^{k+1}$，且此时 $\text{range } T^k = \text{range } T^{k+1}$。进一步，证明 $V = \text{null } T^k \oplus \text{range } T^k$。

第3章 线性映射 - 保持线性结构的函数 (Linear Maps)

一、导读

3.1 本章学习目标

3.2 为什么本章如此重要

3.3 核心问题引导

二、核心概念详解

3.1 线性映射的定义

定义 3.1（线性映射）

例 3.1：基本线性映射

例 3.2：非线性映射

定理 3.1：线性映射的基本性质

3.2 零空间与值域

定义 3.2（零空间 / 核）

定理 3.2：零空间是子空间

定义 3.3（值域 / 像）

定理 3.3：值域是子空间

定义 3.4（单射与满射）

定理 3.4：单射的刻画

3.3 秩-零化度定理

定义 3.5（零化度与秩）

定理 3.5（秩-零化度定理）

推论 3.6：有限维空间中的单射与满射

3.4 线性映射的运算

定义 3.6（线性映射的加法与标量乘法）

定理 3.7：线性映射构成向量空间

定义 3.7（线性映射的复合）

定理 3.8：线性映射的复合是线性的

3.5 可逆线性映射

定义 3.8（可逆线性映射）

定理 3.9：可逆线性映射的性质

定理 3.10：有限维空间中的可逆性

三、程序员的视角

3.1 在机器学习中的应用

3.2 常见陷阱与误区

3.3 与其他层级的联系

四、代码实战

4.1 验证线性映射

4.2 计算零空间和值域

4.3 线性映射的矩阵表示

五、深入思考

5.1 历史背景

5.2 前沿方向

5.3 延伸阅读

六、实验笔记

实验 1：探索线性映射的零空间和值域

实验 2：线性映射复合与矩阵乘法

七、本章小结

八、习题

第3章线性映射 - 保持线性结构的函数 (Linear Maps)